3.10. Trong Hoạt động 3, bằng cách xét tam giác vuông OIA và tính tỉ số $\frac{IA}{OA}$, chứng minh rằng trong phép chiếu trục đo vuông góc đều thì p = q = r = $\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Bài Làm:
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có: OABC là hình chóp tam giác đều nên OA = OB = OC.
Vì I là tâm tam giác đều ABC nên IM=$\frac{1}{2}$IA. (1)
Tam giác OBC vuông cân tại O nên OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến.
Suy ra: OM = $\frac{1}{2}$BC hay 2OM = BC
Tam giác vuông cân OBC có: $2OB^{2}=BC^{2}$
Do đó: $2OB^{2}=4OM^{2}$. Suy ra: $OM^{2}=\frac{1}{2}OA^{2}$. (2)
Tam giác OIM vuông tại I có: $OI^{2}+IM^{2}=OM^{2}$ (3)
Mà $OI^{2}=OA^{2}-IA^{2}$ (tam giác OIA vuông tại I) (4)
Thay (1)(2)(4) vào (3) ta được: $OA^{2}-IA^{2}+\frac{1}{4}IA^{2}=\frac{1}{2}OA^{2}$.
Suy ra: $\frac{IA^{2}}{OA^{2}}=\frac{2}{3}$. Hay $\frac{IA}{OA}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Mà IA = OA'
Do đó: p = q = r = $\frac{OA'}{OA}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
