Bài tập 2.6 trang 21 SBT toán 8 tập 1 kết nối:
a) Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh rằng $a^{2}$ chia 3 dư 1.
b) Biết số tự nhiên a chia 5 dư 3. Chứng minh rằng $a^{2}$ chia 5 dư 4.
Bài Làm:
a) Vì a chia 3 dư 2 nên ta có thể viết a = 3n + 2, n ∈ ℕ. Ta có
$a^{2}=(3n+2)^{2}$
= $9n^{2}$ + 2.3n.2 + 4
= $9n^{2}$ + 12n + 3 + 1
= 3($3n^{2}$ + 4n + 1) + 1
Vì ($3n^{2}$ + 4n + 1) ⋮ 3 nên 3($3n^{2}$ + 4n + 1) + 1 chia 3 dư 1.
=> $a^{2}$ chia 3 dư 1.
b) Vì a chia 5 dư 3 nên ta có thể viết a = 5n + 3, n ∈ ℕ. Ta có
$a^{2}=(5n+3)^{2}$
= $25n^{2}$ + 2.5n.3 + 9
= $25n^{2}$ + 30n + 5 + 4
= 5($5n^{2}$ + 6n + 1) + 4
Vì 5($5n^{2}$ + 6n + 1) ⋮ 5 nên 5($5n^{2}$ + 6n + 1) + 4 chia 5 dư 4.
=> $a^{2}$ chia 5 dư 4