2.5. Chứng minh rằng không tồn tại đồ thị với các đỉnh có bậc là 2, 3, 3, 4, 4 và 5.
Bài Làm:
Tổng tất cả các bậc của các đỉnh là: 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 21
Theo định lí bắt tay, tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn.
Do đó mâu thuẫn với định lí bắt tay.
Suy ra: Không tồn tại đồ thị với các đỉnh có bậc là 2, 3, 3, 4, 4 và 5.
Trong: Giải chuyên đề Toán 11 kết nối bài 8 Một vài khái niệm cơ bản
Trước khi vào một hội nghị, các đại biểu bắt tay nhau (hai người bắt tay nhau nhiều nhất 1 lần). Có một đại biểu không bắt tay ai hết và thấy rằng có 4 người bắt tay 4 lần, 5 người bắt tay 5 lần và 6 người bắt tay 6 lần. Nếu hội nghị có đúng 16 đại biểu thì ông ta đã đếm nhầm. Vì sao có thể kết luận như vậy?
a) Khái niệm đồ thị
Hoạt động 1: Nhận biết khái niệm đồ thị
Có bốn bạn học sinh khối 11 là An, Bình, Cường và Dung, trong đó: An là bạn của Bình và Cường, nhưng không là bạn của Dung; Dung là bạn của Cường, nhưng không là bạn của Bình; Bình là bạn của Cường.
a) Hãy biểu diễn mỗi bạn An, Bình, Cường, Dung bằng một điểm trên mặt phẳng và dùng chữ cái đầu (in hoa) trong tên của họ để đặt tên cho các điểm này.
b) Nếu hai người là bạn của nhau, hãy nối các điểm biểu diễn tương ứng bằng một đoạn thẳng (hay đoạn đường cong).
c) Từ hình vẽ thu được ở HĐ1b, hãy cho biết: ai có nhiều bạn nhất và ai có ít bạn nhất?
Luyện tập 1: Bảng F của giải vô địch bóng đá thế giới World Cup 2018 gồm bốn đội: Đức, Hàn Quốc, Mexico và Thụy Điển. Biểu diễn các đội này bằng các điểm phân biệt kí hiệu lần lượt là D, H, M, T (vẽ sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng để dễ quan sát) và nếu hai đội nào đấu với nhau thì ta nối hai điểm tương ứng bằng một đoạn thẳng, ta sẽ được một đồ thị G.
Viết tập hợp các đỉnh và tập hợp các cạnh của đồ thị G.
b) Đơn đồ thị và đa đồ thị
Hoạt động 2: Nhận biết khái niệm đơn đồ thị
Xét đồ thị cho trong Hình 2.2.
a) Đồ thị trên có khuyên không?
b) Có hai đỉnh nào của đồ thị được nối với nhau bằng nhiều hơn một cạnh không?
Luyện tập 2: Vẽ đồ thị G với các đỉnh và các cạnh như sau:
V(G) = {U, W, X, Z} và E(G) = {UW, WX, WZ, XZ}.
G có phải là một đơn đồ thị không?
c) Đồ thị đầy đủ
Hoạt động 3: Nhận biết đồ thị đầy đủ
Xét đồ thị nhận được trong Luyện tập 1. Có cặp đỉnh nào của đồ thị này mà không có cạnh nào nối chúng không?
Luyện tập 3: Vẽ các đồ thị đầy đủ có 5 đỉnh, có 6 đỉnh.
Hoạt động 4: Nhận biết bậc của đỉnh
Cho đồ thị như Hình 2.5. Tìm các đỉnh là đầu mút của: 0 cạnh; 1 cạnh; 2 cạnh; 3 cạnh.
Luyện tập 4: Chứng minh rằng không có đơn đồ thị với 12 đỉnh và 18 cạnh mà các đỉnh đều có bậc 3 hoặc 4.
a) Khái niệm đường đi và chu trình
Hoạt động 5: Nhận biết khái niệm đường đi và chu trình
Cho đồ thị như Hình 2.7. Bằng cách đi dọc theo các cạnh, với điều kiện không đi qua cạnh nào quá một lần (có thể có cạnh không cần đi qua), hãy chỉ ra các cách để:
a) Đi từ đỉnh A đến đỉnh E.
b) Đi từ đỉnh A và lại quay về đỉnh A.
Luyện tập 5: Cho đồ thị đầy đủ có 5 đỉnh như Hình 2.9. Tìm những chu trình sơ cấp xuất phát từ đỉnh A và có: độ dài 4; độ dài 5.
b) Tính liên thông của đồ thị
Hoạt động 6: Nhận biết tính liên thông của đồ thị
Trong đồ thị ở Hình 2.10, hãy:
a) Tìm một đường đi từ đỉnh A đến đỉnh E.
b) Có tồn tại một đường đi từ đỉnh A đến đỉnh F hay không?
Luyện tập 6: Chứng minh đồ thị ở Hình 2.12 là liên thông. Hãy chỉ ra một đường đi nối đỉnh 1 và đỉnh 6.
2.1. Vẽ hình biểu diễn của đồ thị G với tập đỉnh V(G) = {1; 2; 3; 4; 5} và tập cạnh E(G) = {12; 14; 23; 25; 34; 35}. Đồ thị G có phải là đơn đồ thị không? Có phải là đồ thị đầy đủ không?
2.2. Hãy vẽ một đồ thị có 4 đỉnh và:
a) có đúng hai đỉnh cùng bậc và bậc là 1;
b) có đúng hai đỉnh cùng bậc và bậc là 2.
2.3. Một đồ thị con của đồ thị G là một đồ thị mà mọi đỉnh của nó đều là đỉnh của G và mọi cạnh của nó cũng là cạnh của G.
Những đồ thị nào trong các hình a), b), c) dưới đây là đồ thị con của đồ thị G?
2.4. Chứng minh rằng một đồ thị đầy đủ có n đỉnh thì có $\frac{n(n-1)}{2}$ cạnh.
2.6. Cho đồ thị G như Hình 2.14.
a) Tìm một đường đi từ đỉnh A đến đỉnh B.
b) G có liên thông không?
c) Trong G có chu trình sơ cấp nào không?
Xem thêm các bài Giải chuyên đề toán 11 kết nối tri thức được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.
Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 11, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.