Bài tập 2 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng $AB \perp CD$
Bài Làm:
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC, AD
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện ABCD
Tam giác ACD là MP là đường trung bình nên $MP = \frac{1}{2}.CD = \frac{1}{2}a, MP//CD$
Tam giác ABC là MN là đường trung bình nên $MN = \frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}a; MN//AB$
Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên $BP = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên $CP = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
Suy ra tam giác BCP cân tại P có PN là trung tuyến nên $PN \perp BC$
$NP = \sqrt{CP^{2} - CN^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2} - (\frac{1}{2}a)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$
Tam giác MNP có: $MN^{2} + MP^{2} = NP^{2}$ nên tam giác MNP vuông tại M
Do MN//AB, MP//CD nên góc giữa AB và CD là góc giữa MN và MP và bằng $90^{o}$
Vậy $AB \perp CD$
