Đề cương ôn tập Toán 10 cánh diều học kì 1

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Chủ đề: Mệnh đề

- Một mệnh đề toán học phải hoặc đúng hoặc sai (không thể vừa đúng, vừa sai)

- Mệnh đề phủ định $\overline {P}$: mệnh đề $\overline {P}$ khi P sai; mệnh đề $\overline {P}$ sai khi P đúng

- Mệnh đề kéo theo: Nếu P thì Q (kí hiệu: P $\Rightarrow $ Q)

- Mệnh đề Q $\Rightarrow $ P là mệnh đề đảo của P $\Rightarrow $ Q

- Hai mệnh đề P và Q tương đương nếu P $\Rightarrow $ Q và Q $\Rightarrow $ P đều đúng (kí hiệu: P $\Leftrightarrow $ Q)

- Mệnh đề "P(x), x $\in $ X":

+ Phủ định của mệnh đề "$\forall x\in X,P(x)$" là: "$\exists x\in X,\overline {P(x)}$"

+ Phủ định của mệnh đề "$\exists x\in X,P(x)$" là: "$\forall x\in X,\overline {P(x)}$"

Chủ đề: Tập hợp

- Tập con: mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B (kí hiệu: A $\subset $ B)

- A $\subset $ A với mọi tập hợp A

Nếu A $\subset $ B và B $\subset $ C thì A $\subset $ C

- Hai tập hợp bằng nhau: A $\subset $ B, B $\subset $ A $\Rightarrow $ A = B

- Giao hai tập hợp: $A\cap B=\left \{ x|x\in A,x\in B \right \}$

- Hợp hai tập hợp: $A\cup  B=\left \{ x|x\in A;x\in B \right \}$

- Phần bù $C_{B}A$: A $\subset $ B, x thuộc B nhưng không thuộc A

- Hiệu hai tập hợp: $A\setminus B=\left \{ x|x\in A,x\notin B \right \}$

- $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$

- Một số tập con của tập hợp số thực:

Chủ đề: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by < c; ax + by > 0; ax + by $\leq $ c; ax + by $\geq $ c (a, b không đồng thời bằng 0)

- Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c:

+ Vẽ đường thẳng d: ax + by = c 

+ Lấy M($x_{0};y_{0}$) không thuộc d. Tính $ax_{0}+by_{0}$ và so sánh với c

+ Nếu $ax_{0}+by_{0}$ < c thì nửa mặt phẳng (không kể d) chứa M là miền nghiệm của bất phương trình

Nếu $ax_{0}+by_{0}$ > c thì nửa mặt phẳng (không kể d) không chứa M là miền nghiệm của bất phương trình

- Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trong cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình bằng cách gạch phần không thuộc miền nghiệm của nó

+ Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm

Chủ đề: Hàm số và đồ thị

- Hàm số: y = f(x), x $\in $ D 

- Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b):

+ Đồng biến trên khoảng (a;b) nếu: $\forall x_{1},x_{2}\in (a;b),x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$

+ Nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu: $\forall x_{1},x_{2}\in (a;b),x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})$

- Hàm số bậc hai: y = $ax^{2}+bx+c$ ($a\neq 0$), tập xác định D = $\mathbb{R}$

- Đồ thị hàm số bậc hai y = $ax^{2}+bx+c$ ($a\neq 0$) là một parabol có đỉnh I($-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}$), trục đối xứng x = $-\frac{b}{2a}$

- Bảng biến thiên của hàm số bậc hai:

Chủ đề: Dấu của tam thức bậc hai

- Tam thức bậc hai f(x) = $ax^{2}+bx+c$ ($a\neq 0$), $\Delta =b^{2}-4ac$

+ $\Delta<0$: f(x) cùng dấu với a với mọi x $\in \mathbb{R}$

+ $\Delta=0$: f(x) cùng dấu với a với mọi x $\in \mathbb{R}\setminus \left \{ -\frac{b}{2a} \right \}$

+ $\Delta>0$: f(x) có hai nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ ($x_{1}$, $x_{2}$: f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc $(-\infty ;x_{1})$ và $(x_{2};+\infty )$; f(x) trái dấu với a với mọi x thuộc ($x_{1};x_{2}$)

- Giải bất phương trình bậc hai một ẩn: Xét dấu của tam thức bậc hai hoặc sử dụng đồ thị

Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác

- $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\alpha \neq 90^{\circ})$

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }(0<\alpha <180^{\circ})$

$\sin (90^{\circ}-\alpha )=\cos\alpha (0^{\circ}\leq \alpha \leq 90^{\circ})$

$\cos (90^{\circ}-\alpha )=\sin\alpha (0^{\circ}\leq \alpha \leq 90^{\circ})$

$\tan (90^{\circ}-\alpha )=\cot\alpha (0^{\circ}< \alpha \leq 90^{\circ})$

$\cot (90^{\circ}-\alpha )=\tan\alpha (0^{\circ}\leq \alpha < 90^{\circ})$

- $\sin (180^{\circ}-\alpha )=\sin \alpha $

$\cos (180^{\circ}-\alpha )=-\cos \alpha $

$\tan (180^{\circ}-\alpha )=-\tan\alpha (\alpha \neq 90^{\circ})$

$\cot (180^{\circ}-\alpha )=-\cot \alpha (\alpha \neq 0^{\circ},180^{\circ})$

- Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

- Định lí Côsin: BC = a, CA = b, AB = c

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos B$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$

- Định lí Sin: BC = a, CA = b, AB = c, bán kính đường tròn ngoại tiếp R: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

- Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ($p=\frac{a+b+c}{2}$)

Chủ đề: Vectơ

- Hai vectơ cùng phương nếu giá song song hoặc trùng nhau

- $\vec{AB}=\vec{CD}$ nếu cùng hướng và cùng độ dài

- Tổng hai vectơ: 

+ Với ba điểm A, B, C bất kì: $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$

+ ABCD là hình bình hành: $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$

- Tính chất phép cộng: 

+ Giao hoán: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

+ Kết hợp: $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

+ Vectơ-không: $\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$

- Hiệu hai vectơ: $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

- Tích số thực $k\neq 0$ và $\vec{a}\neq 0$: $k\vec{a}$:

+ Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0; ngược hướng $\vec{a}$ nếu k < 0

+ Độ dài bằng |k|.|$\vec{a}$|

- Tính chất: 

$k(\vec{a}\pm \vec{b})=k\vec{a}\pm k\vec{b}$

$(h+k)\vec{a}=h\vec{a}+k\vec{a}$

$h(k\vec{a})(hk)\vec{a}$

$\pm 1\vec{a}=\pm \vec{a}$

- I là trung điểm của AB, M bất kì: $\vec{MA}+\vec{MB}=2\vec{MI}$

- G là trọng tâm tam giác ABC, M bất kì: $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=3\vec{MG}$

- Điều kiện cần và đủ để $\vec{a}$, $\vec{b}$ cùng phương: $\vec{a}=k\vec{b}$

- Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng: $\vec{AB}=k\vec{AC}$

- Tích vô hướng hai vectơ cùng điểm đầu: $\vec{OA}.\vec{OB}=\left | \vec{OA} \right |.\left | \vec{OB} \right |.\cos (\vec{OA},\vec{OB})$

- Tính chất: 

+ Giao hoán: $\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{a}$

+ Phân phối: $\vec{a}.(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}$

+ $(k\vec{a}).\vec{b}=k(\vec{a}.\vec{b})=\vec{a}.(k\vec{b})$

+ $\vec{a}^{2}\geq 0,\vec{a}^{2}=0\Leftrightarrow \vec{a}=\vec{0}$