4.57. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm P, Q sao cho MP, MQ lần lượt vuông góc với AB, AC (H.4.59).
a) Chứng minh rằng MP = MQ và AP = AQ.
b) Đường thẳng PQ có vuông góc với AM không? Vì sao?
Bài Làm:
a) Xét tam giác vuông PBM và tam giác vuông QCM có:
BM = MC (do M là trung điểm của BC)
$\widehat{B}=\widehat{C}$ (do tam giác ABC cân tại đỉnh A)
Do đó, $\Delta PBM = \Delta QCM$ (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MP = MQ.
Ta lại có: AB = AC (do tam giác ABC cân tại đỉnh A).
AB = AP + PB, AC = AQ + QC.
Suy ra AP + PB = AQ + QC
Mà PB = QC (do $\Delta PBM = \Delta QCM$)
Do đó AP = AQ.
b) Theo câu a ta có, AP = AQ và MP = MQ, do đó A và M cùng cách đều hai điểm P, Q nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Do đó, AM vuông góc với PQ.
