Dạng 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài tập 1: Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm:
$\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}<\frac{3}{2}$
Bài tập 2: Giải hệ bất phương trình: $\begin{cases}6x+\frac{5}{7}& <4x+7\\ \frac{8x+3}{2}& <2x+5\end{cases}$
Bài Làm:
Bài tập 1:
Tập xác định: D = $\mathbb{R}$
Ta có: $1+2(x-3)^{2}\geq 1\Rightarrow \sqrt{1+2(x-3)^{2}}\geq 1$
$5-4x+x^{2}=1+(2-x)^{2}\geq 1\Rightarrow \sqrt{5-4x+x^{2}}\geq 1$
Suy ra: $\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}\geq 1+1=2\geq \frac{3}{2}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$
Do đó: Bất phương trình $\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}<\frac{3}{2}$ vô nghiệm
Bài tập 2:
$\begin{cases}6x+\frac{5}{7}& <4x+7\\ \frac{8x+3}{2}& <2x+5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}6x-4x& <7-\frac{5}{7}\\ 4x-2x& <5-\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x& <\frac{22}{7}\\ x& <\frac{7}{4}\end{cases}$
Do đó: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là $(-\infty ;\frac{7}{4})$