CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
(24 câu)
1. NHẬN BIẾT (7 CÂU)
Câu 1: Cho hàm số 
xác định, liên tục trên 
và có bảng biến thiên:
Hãy xác định khoảng biến thiên và cực trị của hàm số.
Trả lời:
Từ bảng biến thiên ta có:
-
Hàm số đồng biến trên các khoảng
và 
. -
Hàm số nghịch biến trên khoảng
. -
Hàm số đạt cực đại tại
và đạt cực tiểu tại 
.
Câu 2: Cho hàm số 
xác định, liên tục trên đoạn 
và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Tìm các cực trị và giá trị cực trị của hàm số.
Trả lời:
Ta có:
- Hàm số đạt cực đại tại
và giá trị cực đại là 
. - Hàm số đạt cực tiểu tại
và giá trị cực tiểu là 
.
Câu 3: Cho hàm số 
. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng nào?
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
.
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
.
Câu 4: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Xét tính đơn điệu của hàm số và tìm các giá trị cực trị của hàm số.
Trả lời:
Từ bảng biến thiên, ta có:
- Hàm số đồng biến trên khoảng
. - Hàm số nghịch biến trên các khoảng
và 
. - Hàm số đạt cực đại tại điểm
và giá trị cực đại bằng 5. - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
và giá trị cực tiểu bằng 4.
Câu 5: Cho hàm số 
có đồ thị như hình vẽ. Xét tính đơn điệu của hàm số đã cho.
Trả lời:
Từ đồ thị hàm số, ta có:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng 
.
Câu 6: Cho hàm số 
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị. Tìm các cực trị và giá trị cực trị đó.
Trả lời:
Từ đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
- Hàm số đạt cực đại tại điểm
, giá trị cực đại bằng 
. - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
, giá trị cực tiểu bằng 
và điểm 
, giá trị cực tiểu bằng 
.
Câu 7: Cho hàm số 
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Xét tính đơn điệu của hàm số.
Trả lời:
Từ bảng xét dấu, ta có:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
.
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
và 
.
2. THÔNG HIỂU (8 CÂU)
Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 
.
Trả lời:
Tập xác định: 
- Ta có: 
hoặc 
.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 
và 
; hàm số nghịch biến trên khoảng 
và 
.
Câu 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: 
.
Trả lời:
Tập xác định: 
Ta có: 
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
.
hàm số nghịch biến trên các khoảng 
và 
.
Câu 3: Cho hàm số 
. Xác định các điểm cực trị của hàm số.
Trả lời:
- Tập xác định:
. - Ta có:
; 
- Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại 
và giá trị cực tiểu bằng 
.
Hàm số đạt cực đại tại 
và giá trị cực đại bằng 
.
Câu 4: Cho hàm số 
. Xét tính đơn diệu của hàm số.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Câu 5: Cho hàm số 
có đồ thị hàm số 
như hình bên dưới:
Xét tính đơn điệu của hàm số.
Trả lời:
Từ đồ thị hàm số ta có:
-
với 
và . Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
. -
với 
và 
. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng 
và 
.
Câu 6: Cho hàm số 
liên tục trên 
và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Đồ thị của hàm số 
có nghịch biến trên khoảng 
không?
Trả lời:
Ta có: 
.
Đồ thị 
: 
được suy ra từ độ thị của hàm số 
như sau:
Từ đồ thị hàm số, ta kết luận hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
.
Câu 7: Biết 
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 
. Tính giá trị của hàm số tại .
Trả lời:
Ta có: 
.
Do 
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên:
Vậy hàm số 
.
Suy ra 
.
Câu 8: Cho hàm số 
liên tục trên 
, có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số 
đồng biến trên khoảng nào?
Trả lời:
Ta có: 
.
Mặt khác hàm số 
là hàm số chẵn trên tập 
. Nên đồ thị của hàm số 
nhận trục 
làm trục đối xứng.
Do đó, ta có hình ảnh của đồ thị hàm số 
là:
Từ đó, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 
và 
và 
.
3. VẬN DỤNG (7 câu)
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 
sao cho đồ thị của hàm số 
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
Để hàm số có 3 điểm cực trị là: 
.
Giả sử 
.
Khi đó: 
nên tam giác 
luôn cân tại 
.
Do đó 
vuông tại 
khi 
Vậy 
.
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 
sao cho hàm số 
đồng biến trên khoảng 
.
Trả lời:
Đặt 
Khi đó, hàm số ban đầu trở thành 
với 
.
Ta có: 
.
Hàm số đồng biến trên 
khi 
.
Vậy 
hoặc 
.
Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số 
để hàm số 
đồng biến trên khoảng 
.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .
.
.
Ta có: 
.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
.
Vậy 
.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 
để hàm số 
không có cực đại.
Trả lời:
Tập xác định : 
.
Ta có: 
.
+ Xét với 
: Khi đó 
hàm số không có cực đại. Vậy 
thỏa mãn.
+ Xét 
: Khi đó hàm số là hàm số bậc 4 trùng phương với hệ số 
.
Để hàm số không có cực đại thì 
chỉ có một nghiệm duy nhất 
.
Hay 
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 
.
vô nghiệm hoặc có nghiệm 
.
+ Xét 
: hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số 
luôn có cực đại.
Kết luận: để hàm số không có cực đại thì 
.
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 
để hàm số 
đồng biến trên 
.
Trả lời:
Ta có: 
.
Để hàm số đồng biến 
.
Mà 
khi 
.
Do đó 
.
Vậy 
.
Câu 6: Cho hàm số 
. Hàm số 
có đồ thị như hình bên. Hàm số 
đồng biến trên khoảng nào?
Trả lời:
Xét hàm số 
.
Hàm số trên xác định với mọi 
. Ta có: 
.
Hàm số đồng biến 
.
Từ đồ thị của hàm số 
ta có:
Vậy hàm số 
đồng biến trên các khoảng 
và 
.
Câu 7: Tìm 
để phương trình sau vô nghiệm:
Trả lời:
Điều kiện xác định: 
Ta có:
Để phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi:
hoặc 
Vậy 
hoặc 
.
4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 
để đồ thị của hàm số 
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
.
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi 
.
Ta có ba điểm cực trị là 
.
Gọi 
là trung điểm 
thì diện tích tam giác 
là:
.
Mà 
nên 
.
Vậy 
.
Câu 2: Một vật chuyển động theo quy luật 
với 
(giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và 
(mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
Trả lời:
Vận tốc của vật được tính bởi: 
.
Ta có: 
.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 36m/s.