Bài tập 3.22 trang 39 SBT toán 8 tập 1 kết nối:
1. Sử dụng tính chất tổng các góc của một tam giác bằng 180° để chứng minh:
a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
b) Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa BC thì vuông tại A.
2. Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau để chứng minh a), b) của ý 1.
Bài Làm:
1.
a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Do B là góc nhọn, có điểm M thuộc BC sao cho $\widehat{BAM}=\widehat{ABM}$ tam giác ABM cân tại M nên MA = MB.
Do $\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=\widehat{ABM}+\widehat{ACM}=90^{o}$
=> $\widehat{MAC}=\widehat{ACM}$ do đó tam giác ACM cân tại M tức là MA = MC.
=> MA=MB=MC= $\frac{1}{2}BC$
b) Ngược lại, nếu có M thuộc BC sao cho MA=MB=MC= $\frac{1}{2}BC$ thì tam giác MAB cân tại M, tam giác MAC cân tại M, suy ra
$\widehat{MAB}=\widehat{B};\widehat{MAC}=\widehat{C}$
Ta có: $\widehat{A}=\widehat{MAC}+\widehat{MAB}$
Nên $\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}$ mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{o}$ nên $\widehat{A}=90^{o}$
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
2. M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC; lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP thì ABPC là một hình bình hành.
a) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì hình bình hành ABPC có $\widehat{BAC}=90^{o}$ nên ABPC là hình chữ nhật.
Do đó hai đường chéo BC, AP bằng nhau, suy ra MA = MB = MC = MP.
b) Nếu có M thuộc BC sao cho
MA=MB=MC= $\frac{1}{2}BC$ thì suy ra BC = AP;
Khi đó hình bình hành ABPC có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật.
Vậy tam giác ABC vuông tại A.