Bài Làm:
Lời giải ví dụ 4 :
Đề ra :
Cho phương trình : $x^{2}-2mx+m-2=0$ ( x là ẩn số ) (1)
a. Chứng minh (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
b. Định m để hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ của (1) thỏa mãn : $(1+x_{1})(2-x_{2})+(1+x_{2})(2-x_{1})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2$ .
< Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT , TP Hồ Chí Minh năm 2016 - 2017 >
Lời giải chi tiết :
$x^{2}-2mx+m-2=0$ ( x là ẩn số ) (1)
a. Ta có : $\Delta {}'=m^{2}-m+2=m^{2}-m+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$
<=> $\Delta {}'=(m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}$
Vì : $\Delta {}'=(m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}>0,\forall m$
=> (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . ( đpcm )
b. Áp dụng hệ thức Vi-et , ta có : $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2m & \\ x_{1}.x_{2}=m-2& \end{matrix}\right.$
Do đó : $(1+x_{1})(2-x_{2})+(1+x_{2})(2-x_{1})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2$ .
<=> $2-x_{2}+2x_{1}-x_{1}x_{2}+2-x_{1}+2x_{2}-x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2$
<=> $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}-2=0$
<=> $(x_{1}+x_{2})^{2}-(x_{1}+x_{2})-2=0$
<=> $4m^{2}-2m-2=0<=> 2m^{2}-m-1=0$ (*)
Nhận xét : (*) có dạng : a + b + c = 0
=> (*) có hai nghiệm phân biệt : $m=1;m=\frac{-1}{2}$
Vậy để hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ của (1) thỏa mãn : $(1+x_{1})(2-x_{2})+(1+x_{2})(2-x_{1})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2$ thì m = 1 hoặc $m=\frac{-1}{2}$ .