Lời giải Ví dụ 1 Các dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10

Lời giải ví dụ 1 :

Đề ra : 

Cho hai biểu thức : $A=\frac{7}{\sqrt{x}+8}$  và  $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}   (x\geq 0,x\neq 9)$

a.  Tính giá trị của biểu thức A khi  x= 25 .

b.   Chứng minh : $B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$ .

c.   Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên .

< Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT ,  TP Hà Nội năm 2016 - 2017 >

Lời giải chi tiết : 

           $A=\frac{7}{\sqrt{x}+8}$ 

a.  Khi x = 25 , thay vào A ta được : 

       $A=\frac{7}{\sqrt{25}+8}=\frac{7}{5+8}=\frac{7}{13}$

Vậy khi x = 25 thì  $A=\frac{7}{13}$ .

b.  Ta có  :   $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}   (x\geq 0,x\neq 9)$

<=>   $B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)+2\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

<=>   $B=\frac{x+3\sqrt{x}+2\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

<=>   $B=\frac{x-3\sqrt{x}+8\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

<=>   $B=\frac{(\sqrt{x}+8)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

<=>    $B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$   ( luôn đúng )  =>  ( đpcm )

Vậy  $B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$  .

c.  Ta có : P = A . B =   $\frac{7}{\sqrt{x}+8}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$ 

<=>   $P=\frac{7}{\sqrt{x}+8}.\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$ 

<=>    $P=\frac{7}{\sqrt{x}+3}$ 

Mà :  $\sqrt{x}\geq 0 => \sqrt{x}+3\geq 0<=> \sqrt{x}+3\geq 3$

=>  $0<\frac{7}{\sqrt{x}+3}\leq \frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$

Theo giả thiết , để  P = A.B có giá trị là số nguyên 

<=>  $\frac{7}{\sqrt{x}+3}=1   (1)$  hoặc $\frac{7}{\sqrt{x}+3}=2    (2)$

Xét (1) : 

           $\frac{7}{\sqrt{x}+3}=1<=> \sqrt{x}+3=7$

<=>     $\sqrt{x}=4=> x=16$   ( t/mãn )

Xét (2) :

            $\frac{7}{\sqrt{x}+3}=2<=> \sqrt{x}+3=\frac{7}{2}$

<=>      $\sqrt{x}=\frac{1}{2}=> x=\frac{1}{4}$   ( t/mãn )

Vậy khi x = 16 hoặc  $ x=\frac{1}{4}$ thì   P = A.B có giá trị là số nguyên .