Bài Làm:
Lời giải ví dụ 2 :
Đề ra :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng (d) : $y=3x+m^{2}-1$ và parabol (P) : $y=x^{2}$ .
a. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m .
b. Gọi $x_{1},x_{2}$ là hoành độ các giao điểm của (d) và (P) . Tìm m để $(x_{1}+1)(x_{2}+1)=1$ .
< Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT , TP Hà Nội năm 2016 - 2017 >
Lời giải chi tiết :
Ta có :
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : $x^{2}=3x+m^{2}-1$
<=> $x^{2}-3x-m^{2}+1=0$ (*)
a. Để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m <=> $\Delta > 0,\forall m$
Ta có : $\Delta =(-3)^{2}-4.(-m^{2}+1)=9+4m^{2}-4=4m^{2}+5$
Vì $\Delta =4m^{2}+5> 0,\forall m$
=> Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt .
=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m . ( đpcm )
b. Giả sử (*) luôn có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ . Theo hệ thức Vi-et , ta có :
$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=3 & \\ x_{1}.x_{2}=-m^{2}+1 & \end{matrix}\right.$
Do đó : $(x_{1}+1)(x_{2}+1)=1$ .
<=> $x_{1}.x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=1$
<=> $-m^{2}+1+3+1=1<=>m^{2}=4=> m=\pm 2$
Vậy $ m=\pm 2$ thì $(x_{1}+1)(x_{2}+1)=1$ .