Bài 1: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) $\lim_{x \to -1}(x^{3}-3x)$
b) $\lim_{x\to 2}\sqrt{2x+5}$
c) $\lim_{x\to +\infty}\frac{4-x}{2x+1}$
Trả lời:
a) Giả sử $(x_{n})$ là dãy số bất kì thỏa mãn $x_{n} \neq 0, x_{n} \neq 3$ với mọi n và $limx_{n}=-1$
Ta có $lim(x_{n}^{3}-3x_{n}) = (limx_{n})^{3}-3limx_{n}=(-1)^{3}-3.(-1)=2$
Vậy $\lim_{x \to -1}(x^{3}-3x)=2$
b) Giả sử $(x_{n})$ là dãy số bất kì thoả mãn $x_{n} \geq -\frac{5}{2}$ với mọi n và $limx_{n}=2$
Ta có $lim\sqrt{2x_{n}+5}=\sqrt{2limx_{n}+5}=\sqrt{2.2+5}=3$
Vậy $\lim_{x\to 2}\sqrt{2x+5}=3$
c) Giả sử $(x_{n})$ là dãy số bất kì thoả mãn $x_{n} \neq -\frac{1}{2}$ với mọi n và $limx_{n}=+\infty$
Ta có $lim\frac{4-x_{n}}{2x_{n}+1}=lim\frac{\frac{4}{x_{n}}-1}{2+\frac{1}{x_{n}}}=\frac{lim\frac{4}{x_{n}}-1}{2+lim\frac{1}{x_{n}}}=\frac{0-1}{2+0}=\frac{-1}{2}$
Vậy $\lim_{x\to +\infty}\frac{4-x}{2x+1}=-\frac{1}{2}$
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\to -3}(8+3x-x^{2})$
b) $\lim_{x\to 2}[(5x-1)(2-4x)]$
c) $\lim_{x\to -2}\frac{x^{2}-x}{(2x+1)^{2}}$
d) $\lim_{x\to -1}\sqrt{10-2x^{2}}$
Trả lời:
a) $\lim_{x\to -3}(8+3x-x^{2})=8+3\lim_{x\to-3}x-(\lim_{x\to -3}x)^{2}=8+3.(-3)-(-3)^{2}=-10$
b) $\lim_{x\to 2}[(5x-1)(2-4x)]=(5\lim_{x\to 2}x-1)(2-4.\lim_{x\to 2}x)=(5.2-1)(2-4.2)=-54$
c) $\lim_{x\to -2}\frac{x^{2}-x}{(2x+1)^{2}}=\frac{\lim_{x\to -2}(x^{2}-4)}{\lim_{x\to -2}(2x+1)^{2}}=\frac{(\lim_{x\to -2}x)^{2}-\lim_{x\to -2}x}{(2\lim_{x\to -2}+1)^{2}}=\frac{(-2)^{2}-(-2)}{[2.(-2)+1]^{2}}=\frac{2}{3}$
d) $\lim_{x\to -1}\sqrt{10-2x^{2}}=\sqrt{10-2.(\lim_{x\to -1}x)^{2}}=\sqrt{10-2.(-1)^{2}}=\sqrt{8}$
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\to -2}\frac{x^{2}-4}{x+2}$
b) $\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{1-x}$
c) $\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-4x+3}{x-3}$
d) $\lim_{x\to -2}\frac{2-\sqrt{x+6}}{x+2}$
e) $\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$
g) $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4}$
Trả lời:
a) $\lim_{x\to -2}\frac{x^{2}-4}{x+2}$
$=\lim_{x\to -2}\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$
$=\lim_{x\to -2}(x-2)=-2-2=-4$
b) $\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{1-x}$
$=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{1-x}$
$=\lim_{x\to 1}(-x^{2}-x-1)=-1^{2}-1-1=-3$
c) $\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-4x+3}{x-3}$
$=\lim_{x\to 3}\frac{(x-1)(x-3)}{x-3}$
$=\lim_{x\to 3}(x-1)=3-1=2$
d) $\lim_{x\to -2}\frac{2-\sqrt{x+6}}{x+2}$
$=\lim_{x\to -2}\frac{(2-\sqrt{x+6})(2+\sqrt{x+6})}{(x+2)(2+\sqrt{x+6})}$
$=\lim_{x\to -2}\frac{4-x-6}{( x+2)(2+\sqrt{x+6})}$
$=\lim_{x\to -2}\frac{-x-2}{(x+2)(2+\sqrt{x+6})}$
$=\lim_{x\to -2}\frac{-1}{2+\sqrt{x+6}}$
$=\frac{-1}{2+\sqrt{-2+6}}=\frac{-1}{4}$
e) $\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$
$=\lim_{x\to 0}\frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}$
$=\lim_{x\to 0}\frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{x}$
$=\lim_{x\to 0}(\sqrt{x+1}+1)=\sqrt{0+1}+1=2$
g) $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4}$
$=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)^{2}}{(x+2)(x-2)}$
$=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x+2}=\frac{0}{4}=0$
Bài 4: Cho hai hàm số f(x) và g(x) có $\lim_{x\to 4}f(x)=2$ và $\lim_{x\to 4}g(x)=-3$. Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\to 4}[g(x)-3f(x)]$
b) $\lim_{x\to 4}\frac{2f(x).g(x)}{[f(x)+g(x)]^{2}}$
Trả lời:
a) $\lim_{x\to 4}[g(x)-3f(x)]=\lim_{x\to 4}g(x)-3\lim_{x\to 4}f(x)=-3-3.2=-9$
b) $\lim_{x\to 4}\frac{2f(x).g(x)}{[f(x)+g(x)]^{2}}$
$=\frac{\lim_{x\to 4}(2f(x)g(x))}{\lim_{x\to 4}[f(x)+g(x)]^{2}}$
$=\frac{2.\lim_{x\to 4}f(x).lim_{x\to 4}g(x)}{[\lim_{x\to 4}f(x)+\lim_{x\to 4}g(x)]^{2}}$
$=\frac{2.2.(-3)}{[2+(-3)]^{2}}=-12$
Bài 5: Cho hai hàm số f(x) và g(x) có $\lim_{x\to +\infty}f(x)=3$ và $\lim_{x\to +\infty}[f(x)+2g(x)]=7$
Tìm $\lim_{x\to +\infty}\frac{2f(x)+g(x)}{2f(x)-g(x)}$
Trả lời:
Ta có: $g(x)=\frac{1}{2}([f(x)+2g(x)]-f(x))$
Suy ra $\lim_{x\to +\infty}g(x)=\frac{1}{2}(\lim_{x\to +\infty}[f(x)+2g(x)]-\lim_{x\to +\infty}])=\frac{1}{2}(7-3)=2$
Suy ra $\lim_{x\to +\infty}\frac{2f(x)+g(x)}{2f(x)-g(x)}=\frac{2\lim_{x\to +\infty}f(x)+\lim_{x\to +\infty}g(x)}{2\lim_{x\to +\infty}f(x)-\lim_{x\to +\infty}g(x)}=\frac{2.3+2}{2.3-2}=2$
Bài 6: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}3x+4,x\leq -1\\3-2x^{2},x>1\end{matrix}\right.$
Tìm các giới hạn $\lim_{x\to -1^{+}}f(x),\lim_{x\to -1^{-}}f(x)$ và $\lim_{x\to -1}f(x)$
Trả lời:
$\lim_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim_{x\to -1^{+}}(3-2x^{2})=3-2.(-1)^{2}=1$
$\lim_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim_{x\to -1^{-}}(3x+4)=3.(-1)+4=1$
$\lim_{x\to -1}f(x)=1$
Bài 7: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}2x+1,x\leq -1\\\sqrt{x^{2}+a},x>1\end{matrix}\right.$
Tìm giá trị của tham số a sao cho tồn tại giới hạn $\lim_{x\to 1}f(x)$
Trả lời:
$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}(2x+1)=3$
$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt{1+a}$
Để tồn tại $\lim_{x\to 1}f(x)$ thì $\sqrt{1+a}=3$. Suy ra a = 8
Bài 8: Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó
a) $\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{|x|}$
b) $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-2x}{|x-2|}$
Trả lời:
a) Ta có:
$\lim_{x\to 0^{-}} \frac{x^{2}}{|x|}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x^{2}}{-x}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x}{-1}=\lim_{x\to 0^{-}}(-x)=0$
$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{2}}{|x|}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{2}}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{1}=\lim_{x\to 0^{+}}x$
Do $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x^{2}}{|x|}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{2}}{|x|}=0$ nên tồn tại giới hạn $\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{|x|}$ và $\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{|x|}=0$
b) Ta có:
$\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x^{2}-2x}{|x-2|}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x^{2}-2x}{x-2}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to 2^{+}}x=2$
$\lim_{x\to 2^{-}}\frac{x^{2}-2x}{|x-2|}=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{x^{2}-2x}{2-x}=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{x(x-2)}{2-x}=\lim_{x\to 2^{-}}(-x)=-2$.
Do $\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x^{2}-2x}{|x-2|} \neq \lim_{x\to 2^{-}}\frac{x^{2}-2x}{|x-2|}$ nên không tồn tại giới hạn $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-2x}{|x-2|}$.
Bài 9: Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{x+4}$
b) $\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{2}+1}{(2x+1)^{2}}$
c) $\lim_{x\to -\infty}\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}-2x}}$
d) $\lim_{x\to +\infty}(x-\sqrt{x^{2}+2x})$
Trả lời:
a) $\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{x+4}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{4}{x}}=\frac{1}{1+4.0}=1$
b) $\lim_{x\to -\infty }\frac{2x^{2}+1}{(2x+1)^{2}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{2+\frac{1}{x^{2}}}{(2+\frac{1}{x})^{2}}=\frac{2+0}{(2+0)^{2}}=\frac{1}{2}$
c) Với x < 0 thì $\sqrt{x^{2}}=|x|=-x$, nên ta có:
$\lim_{x\to -\infty}\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}-2x}}=\lim_{x\to -\infty}{x(3+\frac{1}{x})}{-x\sqrt{1-\frac{2}{x}}}$
d) $\lim_{x\to +\infty}(x-\sqrt{x^{2}+2x})=\lim_{x\to +\infty}\frac{(x-\sqrt{x^{2}+2x})(x+\sqrt{x^{2}+2x})}{x+\sqrt{x^{2}+2x}}$
$=\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}-(x^{2}+2x)}{x+\sqrt{x^{2}+2x}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{-2x}{x+x\sqrt{1+\frac{2}{x}}}$
$=\lim_{x\to +\infty}\frac{-2}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}}=\frac{-2}{1+1}=-1$.
Bài 10: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\to -\infty}(x^{3}+2x^{2}-1)$
b) $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}}{3x^{2}+1}$
c) $\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}-2x+3}$
Trả lời:
a) $\lim_{x\to -\infty}(x^{3}+2x^{2}-1)=\lim_{x\to -\infty}[x^{3}(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{3}})]$
Ta có $\lim_{x\to -\infty}x^{3}=-\infty$ và $\lim_{x\to -\infty}(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{3}})=1+0-0=1$
Suy ra $\lim_{x\to -\infty}(x^{3}+2x^{2}-1)=\lim_{x\to - \infty}[x^{3}(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{3}})]=-\infty$
b) $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}}{3x^{2}+1}=\lim_{x\to +\infty}[x.\frac{x^{2}+2x}{3x^{2}+1}]$
Ta có $\lim_{x\to +\infty}x=+\infty$ và $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+2x}{3x^{2}+1}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{3}$
Suy ra $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}}{3x^{2}+1}=\lim_{x\to +\infty}[x.\frac{x^{2}+2x}{3x^{2}+1}]=+\infty$
c) $\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}-2x+3}=\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}})}$
$=\lim_{x\to -\infty}(|x|\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}})$
Ta có $\lim_{x\to - \infty}|x|=\lim_{x\to -\infty}(-x)=+\infty$ và $\lim_{x\to -\infty} \sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}=1$
Suy ra $\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}-2x+3}=\lim_{x\to -\infty}(|x|\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}})=+\infty$.
Bài 11: Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:
a) $\lim_{x\to 2}\frac{ax+b}{x-2}$
b) $\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3$
Trả lời:
a) Do $\lim_{x\to 2}(x-2)=2-2=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim_{x\to 2}\frac{ax+b}{x-2}=5$, trước hết ta phải có $\lim_{x\to 2}(ax+b)=0$ hay 2a + b = 0, suy ra b = ‒2a.
Khi đó, $\lim_{x\to 2}\frac{ax+b}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{ax-2a}{x-2}=\lim_{x\to 2}{a(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}a=a$
Suy ra a = 5 và b = ‒10.
b) Do $\lim_{x\to 1}(x-1)=1-1=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3$, trước hết ta phải có $\lim_{x\to 1}(a\sqrt{x}+b)=0$ hay a + b = 0, suy ra b = ‒a.
Khi đó, $\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}-a}{x-1} $
$=\lim_{x\to 1}{a(\sqrt{x-1})}{x-1}$
$=\lim_{x\to 1}{a(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}$
$=\lim_{x\to 1}\frac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{a}{\sqrt{x}+1}=\frac{a}{2}$
Suy ra $\frac{a}{2}=3$ hay a = 6, suy ra b = ‒6.
Bài 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm $M(t;t^{2}),t>0$, nằm trên đường parabol $y=x^{2}$. Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi M dần đến điểm O?
Trả lời:
Trung điểm của đoạn thẳng OM là $I(\frac{t}{2};\frac{t^{2}}{2})$
Đường trung trực của OM nhận $\vec{OM}=(t,t^{2})$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $I(\frac{t}{2};\frac{t^{2}}{2})$ nên có phương trình d: $t(x-\frac{t}{2})+t^{2}(y-\frac{t^{2}}{2})=0$
Thay x = 0 vào phương trình của d, ta nhận được $y=\frac{1}{2}(1+t^{2})$
Suy ra $N(0;\frac{1}{2}(1+t^{2}))$
Điểm M dần đến điểm O khi t dần đến $0^{+}$. Ta có $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{2}(1+t^{2})=\frac{1}{2}$.
Suy ra khi điểm dần đến điểm thì điểm dần đến điểm $A(0;\frac{1}{2})$