Bài 97. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC tại E.
a) Chứng minh trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.
b) Chứng minh trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để H cách đều các đỉnh của tam giác BAE
Bài Làm:
a) Gọi K là giao điểm của BD và AE.
Xét tam giác vuông BAD và BAE ta có:
BD chung
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$
Suy ra $\Delta BAD=\Delta BAE$ (cạnh huyền - góc nhọn) nên BA = BE.
Tam giác BAE cân tại B và BK là tia phân giác suy ra $BK\perp AE$
Do BK là đường cao của tam giác BAE và B, K, D thẳng hàng nên trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.
b) Ta có: $\widehat{ADE}=180^{\circ}-\widehat{ABE},\widehat{ABE}<90^{\circ}$ suy ra $\widehat{ADE}>90^{\circ}$. Do góc ADE là góc từ nên trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.
c) Tam giác BAE có H vừa là trực tâm vừa ta điểm cách đều các đỉnh của tam giác suy ra tam giác BAE là tam giác đều, do đó $\widehat{ABE}=60^{\circ}$ hay $\widehat{ABC}=60^{\circ}.$
Vậy điều kiện để H cách đều các đỉnh của tam giác BAE là tam giác vuông ABC phải có $\widehat{ABC}=60^{\circ}$
