Bài 91*. Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C. Vẽ BH và CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE)
a) Chứng minh ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.
b) Tính số đo các góc của tam giác MKH
Bài Làm:
a) Tam giác ABC vuông cân ở A nên đường phân giác AM cũng là đường trung tuyến, suy ra AM = MB = MC.
Do AB = AC; $\widehat{B1}=\widehat{A1}=90^{\circ}-\widehat{BAH}$ nên $\Delta ABH=\Delta CAH$
Suy ra AH = CK và $\widehat{BAH}=\widehat{ACK}$ (1)
Từ (1) và $\widehat{BAM}=\widehat{ACM}=45^{\circ}$ suy ra $\widehat{BAH}-\widehat{BAM}=\widehat{ACK}-\widehat{ACM}$ hay $\widehat{MAH}=\widehat{MCK}$
Xét tam giác AMH và CMK ta có:
AM = CM
AH = CK
$\widehat{MAH}=\widehat{MCK}$
Suy ra $\Delta AMH=\Delta CMK$ suy ra MH = MK.
Ta có MA = MB = MC và MH = MK nên ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.
b) Ta có MH = MK và $\widehat{HMK}=\widehat{HME}+\widehat{EMK}=\widehat{HME}+\widehat{AMH}$=$90^{\circ}$
Suy ra tam giác MHK vuông cân ở M.
Vậy các góc của tam giác MHK là: $\widehat{MHK}=\widehat{MKH}=45^{\circ}, \widehat{HMK}=90^{\circ}$
