Bài 81. Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;
b) KI là tia phân giác của góc EKD.
Bài Làm:
a) Xét tam giác ABK và ACK ta có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
AK chung
KB = KC (gt)
Suy ra $\Delta ABK=\Delta ACK$ (c.c.c) =>$\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$
Do đó, AK là tia phân giác của góc BAC.
I là giao điểm của hai đường phân giác CE và BD nên I cũng nằm trên phân giác AK suy ra I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
b) Xét tam giác EBC và DCB ta có:
$\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$ (tam giác ABC cân tại A)
BC chung
$\widehat{BCE}=\widehat{CBD}$
Suy ra $\Delta EBC=\Delta DCB$ (g.c.g) => BE = CD.
Xét tam giác EBK và DCK ta có:
BK = CK (gt)
$\widehat{EBK}=\widehat{DCK}$
EB = DC
Suy ra $\Delta EBK=\Delta DCK$ (c.g.c) => $\widehat{BKE}=\widehat{CKD}$ (1)
Lại có $\widehat{AKB}=\widehat{AKC}=90^{\circ}$ (do tam giác ABC cân tại A và K là trung điểm của đoạn BC) (2)
Từ (1) và (2) ta có $\widehat{AKB}-\widehat{EKB}=\widehat{AKC}-\widehat{DKC}$ hay $\widehat{EKI}=\widehat{IKD}$
Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.
