Bài 4.4: trang 55 sbt Toán 9 tập 2
Chứng minh rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm thì phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + c = x\) cũng vô nghiệm.
Bài Làm:
Phương trình \(a{x^2} - bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm.
\( \Rightarrow a{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c = 0\) vô nghiệm
\(\Rightarrow \Delta = {\left( {b - 1} \right)^2} - 4ac < 0 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} < 4ac \)
\(\Leftrightarrow 4ac - {\left( {b - 1} \right)^2} > 0 \)
\(\Rightarrow f\left( x \right) - x = a{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c\)
\(= a\left( {{x^2} + {{b - 1} \over a}x + {c \over a}} \right) \)
\(= a\left[ {{x^2} + 2.{{b - 1} \over a}x + {{{{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} - {{{{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} + {c \over a}} \right] \)
\(= a\left[ {{{\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)}^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}}} \right] \)
Vì \({\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} > 0 \)
\(\Rightarrow f\left( x \right) - x\) luôn cùng dấu với a.
- Nếu a > 0 \( \Rightarrow f\left( x \right) - x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > x, \forall x\)
\(\Rightarrow a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c > f\left( x \right) > x, \forall x\)
Vậy không có giá trị nào của x để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)
- Nếu a < 0 \( \Rightarrow f\left( x \right) - x < 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) < x, \forall x\)
\(\Rightarrow a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c < f\left( x \right) < x, \forall x\)
Vậy không có giá trị nào của x để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)
Vậy phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + c = x\) vô nghiệm.