Bài Làm:
Lời giải câu 4 :
Đề bài :
Cho đường tròn tâm O, dây cung AB cố định (AB không phải là đường kính của đường tròn). Từ điểm M di động trên cung nhỏ AB ($M\neq A,M\neq B$), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Từ M kẻ đường vuông góc với NA cắt đường thẳng NA tại Q.
a) Chứng minh bốn điểm A, M, H, Q nằm trên một đường tròn. Từ đó suy ra MN là tia phân giác của góc BMQ.
b) Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với NB cắt NB tại P. Chứng minh $\widehat{AMQ}=\widehat{PMB}$.
c) Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
d) Xác định vị trí của M trên cung AB để ( MQ.AN + MP.BN ) có gía trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Ta có : $\widehat{QAH}=\widehat{ QMH}$ (cùng chắn cung QH)
<=> $\widehat{NAB}=\widehat{ QMN}$
Mà $\widehat{NAB}=\widehat{ BMN}$ (cùng chắn cung NB)
=> $\widehat{QMN}=\widehat{ BMN}$
Vậy MN là tia phân gíac của BMQ
b. Ta có: $\widehat{MAB}=\widehat{MNB}$ (cùng chắn cung MB)
=> $\widehat{AMN}=\widehat{PMN}$
Mà $\widehat{BMN}=\widehat{QMN}$
=> $\widehat{AMQ}=\widehat{PMB}$
c. Ta có: $\widehat{AMQ}=\widehat{AHQ}$ (cùng chắn cung AQ)
Vì tứ giác AHBP nội tiếp nên $\widehat{PHB}=\widehat{PMB}$ (cùng chắn cung BP)
Và $\widehat{AMQ}=\widehat{PMB}$ => $\widehat{AHQ}=\widehat{PHB}$
Mặt khác : vì ba điểm A, H, B thẳng hàng => ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
Vậy ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
d. Ta có: MQ.AN + MP.BN = 2($S_{AMN} + S_{BMN}$) = MN.AH + MN.BH = MN.AB
Vì AB không đổi nên MQ.AN + MP.BN có giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất
<=> MN là đường kính => M nằm chính giữa cung nhỏ AB.
Vậy M nằm chính giữa cung nhỏ AB thì ( MQ.AN + MP.BN ) có gía trị lớn nhất.