Bài Làm:
Lời giải bài 3 :
Đề bài :
Cho phương trình ẩn x :$x^{2}-5x+m-2=0$ (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = −4 .
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1 ; x2 thoả mãn hệ thức :
$2(\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}})=3$
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Khi m = −4 , (1) <=> $x^{2}-5x+(-4)-2=0$
<=> $x^{2}-5x-6=0$ (*)
Nhận xét : (*) có dạng a - b + c = 0
=> $x_{1}=-1;x_{2}=6$
Vậy khi m = −4 thì (1) có tập nghiệm $S={-1;6}$ .
b. Để (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
<=> $\left\{\begin{matrix}\Delta >0 & & \\ x_{1}x_{2}>0 & & \\ x_{1}+x_{2}>0& & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}(-5)^{2}-4(m-2)>0& & \\-\frac{-5}{1}>0 & & \\ m-2>0& & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}33-4m>0 & \\ m>2 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m<\frac{33}{3} & \\ m>2 & \end{matrix}\right.$
<=> $2<m<\frac{33}{4}$ (*)
Ta có : $2(\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}})=3$
<=> $\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}=\frac{3}{2}\sqrt{x_{1}x_{2}}$
<=> $x_{1}+x_{2}+2\sqrt{x_{1}x_{2}}=\frac{9}{4}x_{1}x_{2}$
Từ (*) <=> $5+2\sqrt{}m-2=\frac{9}{2}(m-2)$ (**)
Đặt $t=\sqrt{m-2} (t\geq 0)$
(**) <=> $9t^{2}-8t-20=0$
<=> Hoặc t = 2 hoặc $t=-\frac{10}{9}$ (loại)
+ Với t = 2 <=> $\sqrt{m-2}=2<=> m-2=4=> m=6$ (thỏa mãn)
Vậy m = 2 thì (1) có 2 nghiệm dương phân biệt x1 ; x2 thoả mãn hệ thức :
$2(\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}})=3$