Câu 5: ( 3,5 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I. Gọi H là hình chiếu của A lên OC, AH cắt BC tại M.
a) Chứng minh: Tứ giác ACDH nột tiếp và $\widehat{CHD}=\widehat{ABC}$.
b) Chứng minh: Hai tam giác OHB và OBC đồng dạng với nhau và HM là tia phân giác của góc BHD.
c) Gọi K là trung điểm của BD.Chứng minh: $MD.BC=MB.BC$ và $MB.MD=MK.MC$.
d) Gọi E là giao điểm của AM và OK ; J là giao điêm của IM và (O) (J khác I).
Chứng minh : Hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại một điểm nằm trên (O).
Bài Làm:
a) Ta có :
- $\widehat{ADB}=90^{\circ}$ ( góc nột tiếp chắn nửa đường tròn )
- $\widehat{ADB}=\widehat{AHC}=90^{\circ}$
=> Tứ giác AHDC là tứ giác nội tiếp (đpcm )
- $\widehat{CHD}=\widehat{DAC}$ ( cùng chắn cung DC )
- $\widehat{DAC}=\widehat{ABC}$
=> $\widehat{CHD}=\widehat{ABC}$ ( đpcm )
b) Xét $\triangle OHB$ và $\triangle OBC$ ,có :
$\widehat{O}$ chung
$OB^{2}=OA^{2}=OH.OC=$
=> $\frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OC}$
=> $\triangle OHB \sim \triangle OBC (c-g-c)$
=> $\widehat{OHB}=\widehat{OBC}$ ( 2 góc tương ứng )
Mà : $\widehat{OBC}=\widehat{DAC}=\widehat{DHC}$
=> $\widehat{OBC}=\widehat{DHC}$
=> $\widehat{OHB}=\widehat{DHC}$
=> $\widehat{BHM}=\widehat{DHM}$
Vậy HM là là tia phân giác của góc BHD. ( đpcm )
c)
Vì HM là đường phân giác của góc BHD
=> $\frac{MB}{MD}=\frac{HB}{HD}$ (t/c đường phân giác)
Mà : $HM\perp HC$ => HC là đường phân giác ngoài của góc BHD .
=> $\frac{CB}{CD}=\frac{HB}{HD}$
=> $\frac{MB}{MD}=\frac{CB}{CD}$
=> $MD.BC=MB.CD$
Ta có : $\frac{MB}{MD}=\frac{BH}{HD}=\frac{CB}{CD}=> \frac{MB}{MD}=\frac{CB}{CD}$
=> $\frac{MB+MD}{MD}=\frac{CB}{CD}+1$
=> $\frac{BD}{MD}=\frac{CB+CD}{CD}$
=> $BD.CD=MD(CB+CD)$
Ta có : $MB.MD=MK.MC=(MB.\frac{BD}{2}).MC$
<=> $MB.(MC-MD)=\frac{BD.MC}{2}$
<=> $MB.CD=\frac{BD.MC}{2}$
=> $MD.CB=\frac{BD.MC}{2} $
Ta có : $2MD.BC=MC.BD<=> \frac{BD}{MD}=\frac{2BC}{MC}=\frac{2BC}{MD+CD}$ (1)
Mặt khác , ta có : $\frac{BD}{MD}=\frac{CB+CD}{CD}$
Từ (1) <=> $\frac{CB+CD}{CD}=\frac{2BC}{MC.CD}$
<=> $2BC.CD=(CB+CD)(MD+CD)$
<=> $2BC.CD=CB.MD+CD.MD+CB.CD+CD^{2}$
<=> $2BC.CD=MB.CD+CD.MD+CB.CD+CD^{2}$
<=> $2BC=MB+MD+BC+CD<=> 2BC=2BC$ ( luôn đúng )
=> ( đpcm )
d) Gọi N là giao điểm của MA và (O)
Ta có :
- $MK.MC=MB.MD$
- $MB.MD=MN.MA$
Vì I , J cùng thuộc (O) => $MB.MD=MN.MA=MI.MJ$
=> $MK.MC=MI.MJ$
=> $\triangle MJK\sim \triangle MCI (c-g-c)$
=> $\left\{\begin{matrix}\widehat{JMK}=\widehat{IMC} & \\ \frac{MI}{MK}=\frac{MC}{MJ} & \end{matrix}\right.$
=> $\widehat{MJK}=\widehat{MCI}=> \widehat{MJK}=\widehat{MEK}$
=> Tứ giác KJEM nội tiếp .
=> $\widehat{MJE}=\widehat{MKE}=90^{\circ}$
=> $\widehat{FJI}=90^{\circ}$
=> FI là đường kính của (O).
=> $F\in (O)$
=> Hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại một điểm nằm trên (O). ( đpcm )
