Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc nhất .
I . Phương pháp giải
Bước 1 : Biến đổi phương trình đã cho về dạng : ax + b = 0 (1)
Bước 2 : Xét các trường hợp sau :
- TH 1 : a = 0 thế vào (1) và kiểm tra .
- TH 2 : $a\neq 0$ => $x=-\frac{b}{a}$ .
Bước 3 : Kết luận .
Bài tập minh họa :
Bài 1:
Giải và biện luận phương trình : 2x + 3m = mx + 2 (1)
Hướng dẫn :
Từ (1) <=> (2 - m )x = 2 - 3m (2)
Nếu m = 2 thì (2) <=> 0x = -4 (vô lý ) => (2) vô nghiệm.
Nếu $m\neq 2$ thì (2) <=> $x=\frac{2-3m}{2-m}$ .
Kết luận :
Với m = 2 => (1) vô nghiệm.
Với $m\neq 2$ => (1) có nghiệm duy nhất $x=\frac{2-3m}{2-m}$ .
Bài 2 :
Giải và biện luận : $\frac{2x+3m}{x^{2}-1}=\frac{m}{x+1}+\frac{2m-1}{x-1}$ (1)
Hướng dẫn:
Đk : $x\neq \pm 1$
(1) <=> (3m - 3)x= 2m + 1 (2)
Nếu 3m - 3 = 0 <=> m = 1 => (2) vô nghiệm.
Nếu $3m - 3 \neq 0 <=> m\neq 1 $ thì (2) <=> $x=\frac{2m+1}{3m-3} $
Áp dụng đk : $x\neq \pm 1$ ta có : $x=\frac{2m+1}{3m-3}\neq \pm 1 $
<=> $\left\{\begin{matrix}x\neq 4 & \\ x\neq \frac{2}{5} & \end{matrix}\right.$.
Kết luận :
Với m = 1, m = 4, m = $ \frac{2}{5}$ => (1) vô nghiệm.
Với $m\neq 1\wedge m\neq 4\wedge m\neq \frac{2}{5}$ => (1) có nghiệm duy nhất $x= \frac{2m+1}{3m-3}$ .
Bài 3:
Giải và biện luận phương trình : $ \frac{2mx-3}{\sqrt{x}}=\frac{x-m}{\sqrt{x}}$ (1)
Hướng dẫn :
Đk : x > 0.
(1) <=> 2mx - 3 = x - m = (2m - 1)x = 3 - m (2)
Nếu $m=\frac{1}{2}$ => (2) vô nghiệm.
Nếu $m\neq \frac{1}{2}$ thì (2) <=> $x=\frac{2m-1}{3-m}$.
Với Đk : x > 0 <=> $x=\frac{2m-1}{3-m}> 0 <=> \frac{1}{2}<m<3$ .
Vậy $\frac{1}{2}<m<3$ .
II. Bài tập áp dụng
Lưu ý : Các bạn áp dụng kiến thức đã học cùng việc tham khảo bài tập minh họa để tự giải quyết các bài tập sau:
Bài 1 :
Giải và biện luận phương trình : $\frac{2mx-3}{\sqrt{1-x}}=\frac{x-m}{\sqrt{x+3}}$
Bài 2:
Giải và biện luận phương trình : 2(x + 2)+ 3(m - 1) = mx + 2 .
Dạng 2: Nghiệm của phương trình bậc nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
I .Phương pháp giải
Bước 1 : Biến đổi phương trình đã cho về dạng : ax + b = 0 (1)
Bước 2 : Tìm điều kiện của a để (1) có nghiệm $x_{0}$ sao cho thỏa mãn điều kiện cho trước .
Bài tập minh họa :
Bài 1:
Cho phương trình : (2m + 1)x - 3m + 2 = 3x + m . (1)
Tìm m để phương trình có nghiệm $x\in (0;3)$ .
Hướng dẫn :
(1) <=> (2m - 2)x = 4m - 2 <=> (m - 1)x = 2m - 1 . (2)
Nếu m = 1 => (2) vô nghiệm.
Nếu $m\neq 1$ thì (2) <=> $x=\frac{2m-1}{m-1}$ .
Theo bài ra : nghiệm $x\in (0;3)$ <=> $0<x=\frac{2m-1}{m-1}<3$
<=> $\left\{\begin{matrix}\frac{2m-1}{m-1}>0 & \\ \frac{2m-1}{m-1} <3& \end{matrix}\right.$
<=> Hoặc $m<\frac{1}{2}$ hoặc m>2.
Vậy $m<\frac{1}{2}\vee m>2$ .
Bài 2:
Cho phương trình : $\sqrt{x-1}\begin{bmatrix}(2m-3)x+m+(1-m)x-3\end{bmatrix}=0$ (1)
Tìm m đề phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn:
(1) <=> Hoặc x = 1 hoặc $\left\{\begin{matrix}x>1 & \\ (2m-3)x+m+(1-m)x-3=0& \end{matrix}\right.$.
<=> Hoặc x = 1 hoặc $\left\{\begin{matrix}x>1 & \\ (m-2)x=3-m (2)& \end{matrix}\right.$.
Để (1) có 2 nghiệm phân biệt => (2) có đúng 1 nghiệm > 1.
<=> $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 & \\ x=\frac{3-m}{m-2}>1& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 & \\ x=\frac{5-2m}{m-2}>0& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 & \\ 2<m<\frac{5}{2}& \end{matrix}\right.$
Vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài ta có $ 2<m<\frac{5}{2}$ .
II. Bài tập áp dụng
Lưu ý : Các bạn áp dụng kiến thức đã học cùng việc tham khảo bài tập minh họa để tự giải quyết các bài tập sau:
Bài 1:
Cho phương trình : (3m - 2)x - m = 4mx + 2m - 5
Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên.
Bài 2:
Cho phương trình : (2m - 1) + (3 - n)(x - 2) - 2m + n + 2 = 0.
Tìm m , n để phương trình có nghiệm đúng $\forall x$ .
Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai
I . Phương pháp giải
Phương trình bậc hai có dạng : $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$ (1)
Xét a = 0 => (1) <=> bx + c = 0 . Biện luận phương trình bậc nhất.
Xét $ a\neq 0$ Ta tính $\Delta$ hoặc $\Delta{}'$.
- Nếu $\Delta$ > 0 => (1) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a},x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
- Nếu $\Delta$ = 0 => (1) có nghiệm kép : $x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}$.
- Nếu $\Delta$ < 0 => (1) vô nghiệm.
Chú ý : Nếu tính theo $\Delta{}'$ thì công thức lấy nghiệm cũng tương tự.
Kết luận.
Bài tập minh họa :
Bài 1:
Giải và biện luận phương trình : $(m-1)x^{2}+(2m-3)x+m+1=0$ ( theo tham số m ). (1)
Hướng dẫn:
Với m - 1 = 0 <=> m = 1 => (1) <=> - x + 2 = 0 <=> x = 2.
Với $m-1\neq 0 <=> m\neq 1$ Ta có:
$\Delta =(2m-3)^{2}-4(m-1)(m+1)=13-12m$
Nếu $\Delta$ > 0 => $m<\frac{13}{12}$
<=> (1) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1,2}=\frac{3-2m\pm \sqrt{13-12m}}{2(m-1)}$
Nếu $\Delta$ > 0 => $m=\frac{13}{12}$
<=> (1) có nghiệm kép : $x_{1}=x_{2}=-\frac{2m-3}{2(m-1)}=5$
Nếu $\Delta$ < 0 =>$m>\frac{13}{12}$ => (1) vô nghiệm.
Vậy m = 1 => (1) có nghiệm x = 2.
$m=\frac{13}{12}$ => (1) có nghiệm x = 5.
$m>\frac{13}{12}$ => (1) vô nghiệm.
$m<\frac{13}{12}$ => (1) có 2 nghiệm phan biệt : $x_{1,2}=\frac{3-2m\pm \sqrt{13-12m}}{2(m-1)}$ .
Bài 2:
Giải và biện luận phương trình : $\frac{x^{2}-2(a+1)x+2a+5}{x^{2}-3x+2}=0$ ( tham số a) (1)
Hướng dẫn:
Đk : $x^{2}-3x+2\neq 0$ <=> $\left\{\begin{matrix}x\neq 2 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.$
(1) <=> $f(x)=x^{2}-2(a+1)x+2a+5=0$ (2)
Ta có : $\Delta {}'=(a+1)^{2}-(2a+5)=a^{2}-4$
Nếu $\Delta {}'<0$ <=> - 2 < a < 2 <=> (2) vô nghiệm => (1) vô nghiệm .
Nếu $\Delta {}'=0$ <=> Hoặc a = 2 hoặc a = - 2 <=> (2) có nghiệm kép : x = a + 1.
Với a = 2 => x = 3. (nhận)
Với a = -2 => x = - 1 (nhận)
Nếu $\Delta {}'>0$ <=> | a | =2.
Vì (2) phải có 2 nghiệm thỏa mãn đk : $\left\{\begin{matrix}x\neq 2 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.$ nên :
<=> $\left\{\begin{matrix}f(1)\neq 0 & \\ f(2) \neq 0& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}4\neq 0 & \\ -2a+5 \neq 0& \end{matrix}\right.$
<=> $a\neq \frac{5}{2}$.
=> 2 nghiệm là : $x_{1,2}=a+1\pm \sqrt{a^{2}-4}$
Kết luận :
Nếu | a | < 2 hoặc $a=\frac{5}{2}$ => (1) vô nghiệm.
Nếu $a=2\vee a=-2$ => (1) có nghiệm kép : $x=-1\vee x=3$
Nếu $|a| >2 \wedge a\neq \frac{5}{2}$ => (1) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1,2}=a+1\pm \sqrt{a^{2}-4}$
II. Bài tập áp dụng
Lưu ý : Các bạn áp dụng kiến thức đã học cùng việc tham khảo bài tập minh họa để tự giải quyết các bài tập sau:
Bài 1 :
Giải và biện luận phương trình sau theo a , b :
$x+\frac{1}{x}=\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}$ (1)
Bài 2:
Giải và biện luận phương trình :
$f(x)=mx^{2}+2(2m-1)x+m=0$ với $-1\leq x\leq 1$ (1)
- - - - - Chúc các bạn làm bài tốt ! - - - - -