Giải Bài 3: Lôgarit

Bài học với nội dung kiến thức về Lôgarit. Một kiến thức không quá khó song đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, ConKec sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn

A. Tổng hợp kiến thức

I. Khái niệm

  • Cho hai số dương a, b ( a khác 1). Số a thảo mãn đẳng thức $a^{\alpha}=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b.
  • Ký hiệu: $\log_{a}b$
$\alpha =\log_{a}b<=> a^{\alpha }=b$  $a,b>0,a\neq 1$

Chú ý: 

  • Không có lôgarit của số âm và số 0.

Tính chất

$\log_{a}1=0$

$\log_{a}a=1$

$a^{\log_{a}b}=b$

$\log_{a}(a^{\alpha })=\alpha $

II. Quy tắc tính Lôgarit

1. Lôgarit của một tích

Định lí 1

  • Cho 3 số dương $a,b_{1},b_{2}$ với $a\neq 1$, ta có:
$\log_{a}(b_{1}b_{2})=\log_{a}b_{1}+\log_{a}b_{2}$
  • Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.

Ví dụ minh họa:

Tính: $\log_{3}(9.27)$

Áp dụng công thức, tính chất Lôgarit ta có: 

$\log_{3}(9.27)=\log_{3}9+\log_{3}27=2+3=5$

Chú ý:

  • Với $n$ số dương, ta có: $\log_{a}(b_{1}.b_{2}...b_{n})=\log_{a}b_{1}+\log_{a}b_{2}+..+\log_{a}b_{n}$  với $a,b_{1},b_{2},..,b_{n}>0,a\neq 1$.

2. Lôgarit của một thương

Định lí 2

  • Cho 3 số dương $a,b_{1},b_{2}$ với $a\neq 1$, ta có:
$\log_{a}(\frac{b_{1}}{b_{2}})=\log_{a}b_{1}-\log_{a}b_{2}$
  • Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.
  • Đặc biệt: $\log_{a}\frac{1}{b}=-\log_{a}b$

3. Lôgarit của một lũy thừa

Định lí 3

  • Cho 2 số dương $a,b$ với $a\neq 1$, ta có:
$\log_{a}b^{\alpha }=\alpha \log_{a}b$
  • Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
  • Đặc biệt: $\log_{a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}\log_{a}b$

III. Đổi cơ số

Định lí 4

  • Cho 3 số dương $a,b,c$ với $a\neq 1,c\neq 1$, ta có:
$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$
  • Đặc biệt:  $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

                            $\log_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha}\log_{a}b$

IV. Lôgarit thập phân.Lôgarit tự nhiên

1. Lôgarit thập phân

  • Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.
  • $\log_{10}b$ thường được viết $\log b$ hoặc $\lg b$.

2. Lôgarit tự nhiên

  • Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số e.
  • $\log_{e}b$ còn được viết $\ln b$.

B. Bài tập & Lời giải

Câu 1: Trang 68- sgk giải tích 12

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) $\log _{2}\frac{1}{8}$

b) $\log _{\frac{1}{4}}2$

c) $\log _{3}\sqrt[4]{3}$

d) $\log _{0,5}0,125$

Xem lời giải

Câu 2: Trang 68- sgk giải tích 12

Tính:

a) $4^{\log _{2}3}$

b) $27^{\log _{9}2}$

c) $9^{\log _{\sqrt{3}}2}$

d) $4^{\log _{8}27}$

Xem lời giải

Câu 3: Trang 68- sgk giải tích 12

Rút gọn biểu thức:

a) $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2$

b) $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}$

Xem lời giải

Câu 4: Trang 68- sgk giải tích 12

So sánh các cặp số sau:

a) $\log _{3}5$ và $\log _{7}4$

b) $\log _{0,3}2$ và $\log _{5}3$

c) $\log _{2}10$ và $\log _{5}30$

Xem lời giải

Câu 5: Trang 68- sgk giải tích 12

a) Cho $a=\log _{30}3$, $b=\log _{30}5$.

Hãy tính $\log _{30}1350$ theo a, b.

b) Cho $c=\log _{15}3$. Hãy tính $\log _{25}15$ theo c.

Xem lời giải

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit

Xem lời giải

Dạng 2: Bài toán lãi kép sử dụng lôgarit

Xem lời giải

Lớp 12 | Để học tốt Lớp 12 | Giải bài tập Lớp 12

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 12, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 12 giúp bạn học tốt hơn.