Giải bài 1: Mệnh đề

A. Lí thuyết

I. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

1. Mệnh đề

Khái niệm: Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hay sai của nó. Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

Ví dụ:

1+3=4 là mệnh đề.      

“Cô giáo xinh quá” không phải là mệnh đề.

2. Mệnh đề chứa biến

Khái niệm: Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định mà sự đúng hay sai của nó còn tùy thuộc vào một hay nhiều yếu tố biến đổi.

Ví dụ: Xét câu “n chia hết cho 3” là mệnh đề chứa biến.

Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này. Tuy nhiên với mỗi giá trị của n thuộc tập hợp số nguyên cho ta một mệnh đề.

Chẳng hạn với “n=4” ta được mệnh đề “4 chia hết cho 3”- sai.

Với “n=6” ta được mệnh đề “6 chia hết cho 3”- đúng.

II. Phủ định của một mệnh đề

Phủ định của một mệnh đề A, là một mệnh đề, kí hiệu là $\overline{A}$. Hai mệnh đề A và $\overline{A}$ có những khẳng định trái ngược nhau.

•        Nếu A đúng thì $\overline{A}$ sai.
•        Nếu A sai thì $\overline{A}$ đúng.

Để phủ định một mệnh đề, ta thêm hoặc bớt từ không hoặc không phải vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

Ví dụ:

A: “$\pi$ là số hữu tỉ.” -sai

$\overline{A}$: “$\pi$ không là số hữu tỉ.”-đúng.

III. Mệnh đề kéo theo

Khái niệm: Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$. Ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P

Chú ý: Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Ví dụ: Mệnh đề “-3>-2” $\Rightarrow (-3)^{2}> (-2)^{2}$”- đúng.

IV. Mệnh đề đảo- hai mệnh đề tương đương

Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$.

Ví dụ: Tam giác ABC cân và có một góc $60^{0}$ là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều.

 V. Kí hiệu $\forall$ và $ \exists$

Kí hiệu $\forall$ đọc là "với mọi", $\exists$ đọc là có một (tồn tại một) hay có ít nhất một (tồn tại ít nhất một).

Phủ định của $\forall$ là $\exists$ và ngược lại.

Ví dụ: P: $\forall x \in \mathbb{R}:x^{2} \neq 1$ 

$\overline{P}: \exists x \in \mathbb{R}:x^{2} = 1$